物理极值问题的求解方法1

物理极值问题的求解方法1

    随着教改的不断深入，物理教学更加结合实际，物理习题的题型不断拓宽。在中学物理竞赛及高考试卷中都出现了一些具有一定难度的求极值问题。求极值的一般方法是用导数求解。但中学生还没有学过关于异数的数学知识。本专题将分若干小专题，分别介绍符合中学生数学基础的解决极值问题的方法。

一、几何法求极值

    在初中几何中我们曾经学过“点到直线的距离以垂线为最短。”此结论对于求极小值问题，是一条捷径。

例1.如图1-1所示，船A从港口P出发去拦截正以速度υ₀沿直线航行的船B 。P与B所在航线的垂直距离为a，A起航时与B船相距为b，b>a 。如果略去A船起动时的加速过程，认为它一起航就匀速运动。则A船能拦截到B船的最小速率为多少？

    分析与解：分析本题是两个运动物体求它们之间的相对位置的问题。若以地球为参照系，两个物体都运动，且运动方向不一致，它们之间的相对位置随时间变化的关系比较复杂，一时不容易做出正确的判断与解答。但如果把参照系建立在某一运动的物体上，（如B上）由于以谁为参照系，就认为谁不动，此题就简化为一个物体，（如A）在此运动参照系的运动问题了。当然解一个物体的运动问题比解两个物体都运动的问题自然容易多了。

以B为参照系，B不动，在此参照系中A将具有向左的分速度υ₀，如图1-2所示。在此参照系中A只要沿着PB方向就能拦截到B 。应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论。过O点作PB的垂线，交PB于E点，OE即为A船对地的速度的最小值υ_A，在△AOE中

    ∵υ_A=υ₀Sinθ 而
    ∴，由于灵活运用了几何知识，使较为复杂的问题，变为简单的几何问题了。

例2.如图1-3所示，重为G的物体与水平地面的动摩擦因数为μ，欲以一个拉力F使物体沿地面匀速前进。问F与水平地面的夹角θ为何值时最省力？这个最小拉力是多大？
    分析与解：画出物体的受力分析图，如图1-4所示。物体受到四个力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面对物体的滑动摩擦力f，其中f=Nμ。这四个力为共点力，合力为零。可将N与f合成为一个力N′，N与f的作用将被N′等效，N′与N、f的关系满足平行四边形法则。再画出物体受N′、G、F的力的矢量三角形，如图1-5所示。N′的方向如图，应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论。过B点作N′的垂线交N′于C点，则BC的长度即表示最小作用力F_min，由于F_min与水平面夹角为θ,

    ∴∠CAB=∠θ F_min=Gsinθ
       由图1-6可知，
   
    即 θ=arctanμ
    几何法一般用于求极小值问题，其特点是简单、直观，把物体运动的较为复杂的极值问题，转化为简单的几何问题去解，便于学生掌握。